ベルリン音楽大学及びザルツブルクのモーツァルテウムに学ぶ。ブラジル交響楽団及びリオ・デ・ジャネイロ市立劇場のソロ・チェリストに就任し、音楽家としてのキャリアをスタートさせる。1950年、ヴィルヘルム・フルトヴェングラー率いるベルリン・フィルハーモニー管弦楽団のソロ・チェリストに就任。オーケストラの一員としてのみならずソリストとしても活躍し、フルトヴェングラーをはじめ、ヴォルフガング・サヴァリッシュ、クルト・マズア、小澤征爾、ネヴィル・マリナーなど歴代の名指揮者と共演する。
ベルリン・フィルと共に、日本、韓国、ポーランド、メキシコ、コスタ・リカ、アメリカ合衆国など各国に演奏旅行へ赴き、さらに各地においてマスター・クラスを開くなど精力的な活動を行った。
また、フィンケ氏はベルリン・フィルのメンバーで結成された話題のチェロ・アンサンブル・グループ“ベルリン・フィル12人のチェリストたち”のメンバーでもあった。
1965年、ベルリン音楽大学（現ベルリン芸術大学）の教授に就任し、数多くの優秀なチェリストたちを育て上げ、また、フィンケ氏の下で学んだ多くの生徒たちが、ヨーロッパの主要なオーケストラのメンバーとして現在活躍している。1978年より“チューリッヒ国際音楽マスター・クラス”のチェロ講師として精力的に後進の指導にあたったほか、1998年にはモスクワで開催されたチャイコフスキー国際コンクールにおいて審査員に選ばれる。また1999年から2006年までオーストリアで開催されるブラームス国際音楽コンクールにおいて審査員に選ばれている。現在（2007年3月）、86歳。
カメラータからは、「ベートーヴェン：チェロとピアノのためのソナタ集、《マカベウスのユダ》の主題による12の変奏曲」が発売されている。